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周进鑫访问澳大利亚墨尔本大学并开展合作研究


2018年2月8日-23日,我访问了墨尔本大学理学院数学与统计学院周三明教授。2月8日从北京出发,经停深圳,于2月9日抵达墨尔本。

按照计划,这段时间我们主要开展了有关容许2弧传递的商图的对称图的研究,重点研究了如下问题:给出符合以下条件的图X的刻画或分类。设X是一个G-对称图,这里G为X的全自同构群的一个子群且在X的顶点集合V(X)上作用非本原。设D为V(X)的一个极小G-不变划分,而X关于D构成的商图是一个(G,2)-弧传递完全图,其度数为b。

2月9日-10日,我们初步讨论了上述问题,并做出以下分析结论:根据假设可知,G为一个b+1级3-传递置换群。由已知文献可知所有G为下列群之一,即:Sb+1, Ab+1, AGL(d,2)(b=2d-1), 包含PGL(2,b)(b为素数幂)的群G,及其7个零散群,即Z24.A7, Mathieu群Mb+1(b=10,11,21,22,23)和M11(b=11)。

取B,C∈D,v∈B。根据已有的群论结论,块稳定子群GB和GB∩GC是已知的,而由B的极小性可知,Gv为GB的一个极大子群。又因为X为G-对称图,存在G的2元素g使得<g, Gv>=G,且g不在GB中。因此,问题的关键是寻找GB的所有可能的极大子群Gv,及其符合上条件的2元素g。

2月11日-16日,我们借助于有限单群理论,分析了四个无限类,即:Sb+1, Ab+1, AGL(d,2)(b=2d-1), 包含PGL(2,b)(b为素数幂)的群G。对于Sb+1, Ab+1我们给出了所有可能的图的完全分类;对于AGL(d,2)(b=2d-1),可能出现的图很多,我们给出了这类图的一个描述性刻画;对于PGL(2,b)(b为素数幂)的群G,我们证明此时不存在图。

2月17日-21日,我们利用计算机软件编程处理剩下的7个零散群,即Z24.A7, Mathieu群Mb+1(b=10,11,21,22,23)和M11(b=11)。这几个群阶比较大,编程需要不断的调试,比预计花费的时间长很多。最终,我们找到了所有可能的图。

2月22日,我们初步将这段时间所取得的结果整理成论文,目前正在修改。

2月23日上午9点,我从墨尔本机场,搭乘南航航班于16:00左右在深圳宝安国际机场入关,并于当天23点左右抵达北京。